Gunakangambar berikut untuk membuktikan bahwa 3 +12 =27 . 40. 0.0. Manakah diantara tiga bilangan berikut yang merupakan tripel pythagoras? (Buat Penyesuaiannya) а. 10, 12, 14 b. 7,13,11 c. 6, 221 ,621 Jawaban terverifikasi. Lengkapi tabel berikut berdasarkan ketiga segitiga yang telah kalian buat. 684. 4.0. Jawaban terverifikasi Dibagian bawah sudah ada dua tabel yaitu tabel gaji dan tabel pajak yang dapat kita gunakan untuk melengkapi kolom yang kosong tersebut. Anda tentu pernah menggunakan minyak wangi. Jawaban Matematika Kelas 9 Halaman 87 Cara Golden Ketiga faktor tersebut akan kita bahas dalam tutorial kali ini, dan karena kebutuhan menampilkan data sangat beragam, mysql Berdasarkanpengamatan yang Anda lakukan, coba buatlah pertanyaan yang memuat kata-kata "matriks variabel", "matriks invers koefisien variabel" dan "matriks konstanta".Tuliskan pertanyaan Anda pada tempat berikut ini. =+ Ayo Menggali Informasi Agar Anda lebih yakin, coba lengkapi tabel berikut ini. 58 Kelas XII SMA/MA Vay Tiền Nhanh. 1DISUSUN BERDASARKAN BUKU MATEMATIKA KEMENDIKBUD RI KELAS VIII SMP/MTS SEMESTER II EDISI KURIKULUM REVISI2u TEOREMA PYTHAGORAS Source from Gambar seorang tukang yang sedang mengukur kesikuan atap stadion Jatidiri Semarang Pembangunan konstruksi gedung, dan pembangunan rumah tinggal sering menggunakan konstruksi siku. Mengapa harus siku? Meskipun terkesan sederhana namun mempengaruhi keindahan, kekuatan, bahkan biaya bangunan yang dibutuhkan. Atap rumah, pembangunan jembatan, tangga, pembuatan denah lokasi suatu perumahan, dsb. Tukang bangunan seringkali menggunakan salah satu rumusan segitiga yang apabila diterapkan pada pelaksanaan pembangunan akan membentuk sudut siku- siku yaitu 900. Peralatan yang digunakan masih sederhana yaitu meteran, benang ukur, dan patok/paku. Tukang tersebut sudah mempunyai ukuran tersendiri, mereka menggunakan sebuah segitiga dengan perbandingan 345 untuk membentuk sudut siku-siku tersebut. tahukah kalian, mengapa tukang harus menggunakan ukuran tersebut? apakah ada ukuran lain selain 345? Adakah contoh yang lain selain untuk konstruksi bangunan? Masalah tersebut akan kalian ketahui jawabannya setelah mempelajari bab KATA KUNCI1. Segitiga siku-siku2. Hipotenusa3. Tripel Pythagoras KOMPETENSI DASAR Menjelaskan dan membuktikan teorema Pythagoras dan tripel Pythagoras. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan teorema Pythagoras dan tripel Pythagoras. PENGALAMAN BELAJARDengan pembelajaran bermuatan etnomatematika Semarang, kita akan 1. Memeriksa kebenaran teorema Pythagoras 2. Menentukan panjang sisi segitiga siku-siku jika panjang dua sisi diketahui. 3. Menentukan jenis segitiga berdasarkan panjang sisi-sisi yang diketahui. 4. Menemukan dan menguji tiga bilangan apakah termasuk tripel Pythagoras atau bukan tripel Pythagoras. 5. Menerapkan teorema Pythagoras untuk menyelesaikan permasalahan KONSEP Teorema Pythagoras 2 = 2+ 2 Tripel Segitiga-segitiga PenerapanPythagoras Khusus Teorema PythagorasSegitiga Siku- Segitiga Siku-sikusiku Sama Kaki dengan Sudut 300-600-900 MOTIVASI TOKOHHal yang dapat dipelajari dari tokohPythagoras 582 SM-496 SM1. Rasa ingin tahu yang Pelopor geometri dan Bumi dan segala kehidupan didalamnya tidak bisa lepas dari perhitungan KEGIATAN Teorema Pythagoras Teorema Pythagoras banyak dimanfaatkan dalam kehidupan satunya adalah dalam bidang pertukangan arsitektur. Seorang tukang yangakan membangun rumah biasanya mengukur lahan yang akan dibangun sebelumdibuat pondasi rumah. Tukang tersebut memastikan bahwa sudut-sudut pondasitersebut benar-benar siku-siku dengan menggunakan segitiga kombinasi 60cm,80cm, 100cm. tetapi tukang mungkin tidak menyadari mengapa bilangan itu bisatepat membentuk sudut siku-siku. Sumber Gambar Anak Tangga dalam Museum 3D art Gallery Semarang Selain pengukuran lahan, dalam bidang pertukangan lainnya Pythagorasditerapkan dalam pembuatan anak tangga, Seperti contoh pada Gambar anak tangga dalam museum 3D art gallery Semarang membuat ruanganmenjadi lebih indah dan lebih Photogenic. Tapi tahukah kamu, apakah tukang bangunan sendiri menyadarimengapa bilangan yang ia gunakan itu bisa tepat membentuk sudut siku-siku?Untuk mengetahui kebenaran cara yang digunakan oleh tukang bangunantersebut, kita akan pelajari pada bab Kegiatan ini, kita kan mempelajari tentang teorema Pythagoras danmemeriksa kebenarannya. Pembuktian teorema Pythagoras tidak bisa lepas dariluas persegi dan luas segitiga. Dalam teoremanya, Pythagoras telahmengungkapkan bahwa kuadrat panjang sisi miring suatu segitiga siku-siku samadengan jumlah kuadrat panjang sisi-sisi yang lain. Untuk memeriksa kebenaranteorema Pythagoras, kita bisa melakukan kegiatan dengan langkah-langkahsebagai berikut. Sumber Gambar Motif Batik Tambal Semarang Bu Surti adalah seorang pengrajin batik Semarang. Ia sedang membuatmotif batik tambal yang baru, dimana ia akan menempelkan potongan-potonganmotif batik yang berbeda-beda kemudian dirangkai menjadi satu. Bu surti inginmembuat potongan-potongan motif batik tersebut menjadi bentuk segitiga siku-siku. Setelah membuat potongan motif batik menjadi sebuah segitiga, bu Surtiragu-ragu, apakah potongan motif tersebut apakah benar-benar segitiga siku-sikuatau bukan. Ayo bantu bu Surti untuk membuktikan bahwa potongan tersebut apakahmerupakan segitiga siku-siku atau bukan dengan memeriksa kebenaran teoremaPythagoras dengan melakukan kegiatan dengan langkah-langkah sebagai berikut1. Sediakan kertas HVS atau kertas berpetak, kertas karton, potongan motif batik disediakan oleh guru, pensil, penggaris, dan Buatlah tiga buah persegi dari kertas yang sudah disediakan dengan panjang setiap sisi setiap persegi adalah a = 3 satuan 3kotak, b = 4 satuan, dan c = 5 satuan. Kemudian guntinglah ketiga persegi Tempel ketiga persegi tersebut di karton sedemikian sehingga dua dari empat sudut mereka saling berimpit dan membentuk segitiga didalamnya. Tampak pada Gambar Segitiga apakah yang terbentuk?4. Perhatikan masing-masing persegi, dan hitunglah masing-masing luasnya. Apakah luas persegi yang terbesar sama dengan jumlah dua luas persegi yang lainnya?.5. Tempelkan motif batik tambal yang sudah disediakan guru, perhatikan apakah motif batik tersebut tepat mengisi segitiga yang terbentuk dari ketiga persegi?6. Ulangi langkah nomor 2 dan 3 dengan membuta persegi berukuran dua kali Setelah melakukan kegiatan tersebut, apa yang dapat kalian simpulkan mengenai hubungan nilai a, b, dan c? Untuk lebih meyakinkan kalian tentang hubungan nilai a, b, dan c, lanjutkan dengan kegiatan berikut. Pada kertas berpetak, gambar tiga segitiga siku-siku ABC dengan tiga ukuran yang berbeda-beda. AB = 5 satuan, BC = 12 satuan. AB = 8 satuan, BC = 15 satuan. AB = 9 satuan, BC = 12 panjang sisi ketiga dari setiap tabel berikut berdasarkan kegita segitiga yang telah kalian buat. AB BC AC a. 5 12 … … … …b. … … … … … …c. … … … … … …8 Setelah kalian melakukan kegiatan dan mengamati tabel di atas, buatlahpertanyaan lain terkait dengan segitiga siku-siku. Kalian bisa membuat pertanyaanyang memuat “panjang sisi segitiga”, “pembuktian teorema Pythagoras”, danlainnya. Misalnya, bagaimanakah hubungan panjang sisi-sisi pada segitiga siku-siku ABC yang telah kalian buat? Apakah ada acara lain untuk memeriksakebenaran teorema Pythagoras?Terdapat lebih dari 200 pembuktian Motif batik tambal, adalah salah satu motif batik yang cukupteorema Pythagoras. Elisha Scoot populer bagi pecinta batik Semarangan. Motif batikLoomi mempublikasikannya pada tambal memiliki arti tambal yang bermakna menambal atautahun 1927, termasuk di dalamnya memperbaiki hal-hal yang rusak. Dalam perjalanan hidupnya,pembuktian oleh Pythagoras sendiri. manusia harus memperbaiki diri menuju kehidupan yang lebihSupaya lebih jelas cara menentukan baik, lahir maupun batin. Dahulu kala, kain batik bermotif tambalpanjang salah satu sisi segitiga siku- dipercaya bisa membantu kesembuhan orang yang sakit. Caranyasiku, amati contoh-contoh penggunaan adalah dengan menyelimuti orang sakit tersebut dengan kainteorema Pythagoras dalam kehidupan motif tambal. Kepercayaan ini muncul karena orang yang sakitsehari-hari seperti berikut. dianggap ada sesuatu “yang kurang”, sehingga untuk mengobatinya perlu “ditambal”. sekolah mengadakan LDK latihandasar kepemimpinan OSIS denganmengadakan kegiatan outbond di bumiperkemahan Candra Birawa GunungpatiSemarang. Setiap peserta dibagi menjadi beberapa kelompok, dan diberi tugasuntuk mendirikan sebuah tenda. Tenda kelompok Luthfi berdiri menggunakanbeberapa tali yang diikatkan ke dasar tanah dari ujung tenda seperti padaGambar Jika panjang tali yang digunakan adalah 5 meter dan jarak antara9tiang penyangga pada tanah dengan besi yang berdiri tepat di tengah-tengah tendaadalah 4 meter, tentukanlah tinggi tenda tersebut!Ilustrasi gambar Diketahui Panjang tali yang B digunakan AB = 5m. Jarak antara tiang penyangga pada 5m …m tanah dengan besi AC = 4m. A 4m C Ditanya Tinggi tenda BC tersebut?PenyelesaianGunakan rumus teorema Pythagoras 2+ 2 = 2 atau 2 + 2 = 2 2 + 42 = 52 2 + 16 = 25 2 = 25 − 16 2 = 9 = 3Jadi, Tinggi tenda BC adalah 3m. Pada suatu hari, sekelompok tukang bangunan berencana akan mengganti Sumber kayu usuk dari atap Gedung A Lawang Sewu Semarang. Ada sekitarGambar Atap sebuah gedung di 30 pasang kayu usuk usuk kecil Lawang Sewu Semarang berbentuk segitiga siku-siku sama kaki yang terpasang di gedung tersebut. Jika masing-masing kayu usuk berukuran sama, dengan keliling segitiga kayu usuk kecilnya adalah 6 + 3√2 m. Sedangkan panjang kayu usuk dari tumpuan ke puncak adalah 2kali panjang sisi siku-siku usuk kecil. Berapa panjang kayu usuk kecil stotal yang dibutuhkan oleh sekelompok tukang tersebut?10 Ilustrasi gambar Diketahui Ada 30 pasang kayu usuk. C Keliling segitiga kayu usuk kecil yang berbentuk segitiga siku-siku sama kaki 6 + A B 3√2 m. Sedangkan panjang kayu usuk dari tumpuan ke puncak adalah 2kali panjang sisiD siku-siku usuk kecil. Ditanya Berapa panjang kayu usuk kecil total E yang dibutuhkan oleh sekelompok tukang tersebut?PenyelesaianBerdasarkan yang diketahui, usuk kecil berbentuk segitiga siku-siku sama kaki,dengan kelilingnya adalah 6 + 3√2 m. sehingga2a + b = 6 + 3√2 ……..a adalah panjang sisi segitiga siku-siku sama kaki yangsama panjang, dan b adalah panjang sisi hipotenusanya.2a + b = 6 + 3√22a = 6 sehingga a = 3 m, dan b = 3√2 mJadi, panjang sisi-sisi segitiga usuk kecil tersebut adalah 3 m, 3 m, dan 3√2 Gunakan rumus teorema Pythagoras 2+ 2 = 2 atau 2 + 2 = 2 dengan a = 3 m 2 + 2 = 2 ↔ 2 2 = 2 ↔ 2 × 32 = 2 ↔ 18 = 2 ↔ 3√2 = Panjang kayu usuk kecil total Panjang kayu total= 30 × = × 30= 30 ×6 + 3√2 = 2 × 6 × 30=180 + 90√2 m = 360mJadi, panjang total kayu usuk yang dibutuhkan adalah Sumber Diketahui piramida tembalang berbentuk limas segi empat. JIkaGambar Piramida Tembalang panjang rusuk alasnya adalah 12m, tinggi sisi segitiga tersebut adalah 8m, maka tentukan tinggi piramida tembalang tersebut!Bagaimana cara kamu menentukanperbandingan panjang rusuk alas,garis pelukis dan tinggi piramid?Untuk membantu menentukanhubungan tersebut, perhatikanilustrasi disamping!Diskusikan jawaban Ayo Menalar di atas dengan teman kalian. Kemudiansampaikan hasil menalar kalian di Menentukan Jenis SegitigaSetelah mempelajari teorema Pythagoras, bagaimana jika kita diberikanukuran panjang tiga sisi suatu segitiga namun tidak memenuhi persamaan dariteorema Pythagoras? Termasuk jenis segitiga apa? Apakah teorema Pythagorasberlaku untuk semua jenis segitiga?12Dengan menggunakan kebalikan teorema Pythagoras, kita bisa menguji apakahsegitiga yang telah diketahui panjang ketiga sisinya merupakan segitiga siku-sikuatau bukan segitiga siku-siku. Selain itu, kita juga bisa menentukan segitiga lancipatau segitiga tumpul dengan menggunakan kebalikan dari teorema kegiatan berikut untuk menentukan jenis segitiga jika panjang sisi-sisinya sudah diketahui. 1. Siapkan 3 jenis motif potongan batik tambal sudah disediakan guru, yang berbentuk segitiga dengan ukuran sebagai berikut. a. Motif 1 ukuran segitiga 6 cm, 8 cm, 10 cm b. Motif 2 ukuran segitiga 8 cm, 12 cm, 13 cm c. Motif 3 ukuran segitiga 6 cm, 8 cm, 12 cm. 2. Siapkan penggaris biasa dan busur derajat, kemudian tempelkan ketiga motif batik tersebut dalam sebuah kertas HVS. 3. Identifikasi panjang sisi segitiga di setiap motif, kemudian ukurlah besar sudut didepan sisi terpanjang dengan menggunakan busur derajat. 4. Amati besar sudut yang dihasilkan dari ketiga motif batik tersebut. kemudian identifikasi jenis segitiga pakah yang dapat kalian lihat? 5. Diskusikan dengan teman-teman sekelompokmu mengapa ketiga motif tersebut menghasilkan jenis segitiga yang berbeda-beda? jenis segitiga Siku- siku, lancip, dan tumpul.Berdasarkan ketiga segitiga yang telah kalian buat, buatlah pertanyaan terkaitdengan hubungan panjang ketiga sisi segitiga. Misalnya, bagaimanakah hubunganpanjang ketiga sisi pada segitiga motif pertama? bagaimanakah hubungan panjangketiga sisi pada segitiga motif kedua? bagaimanakah hubungan panjang ketiga sisipada segitiga motif ketiga?13Menentukan jenis-jenis segitiga berdasarkan panjang sisi-sisi yang diketahui. Gambar Jenis-jenis segitiga berdasarkan panjang sisi-sisi yang diketahuiPertemuan antara dua panjang sisi akan menghasilkan suatu sudut. Berikut adalahjenis-jenis segitiga berdasarkan panjang sisi yang diketahui dan sudut segitiga dengan panjang sisinya a, b, dan c1 Jika 2 2 + 2 , maka merupakan segitiga tumpul di C. Sisi c dihadapan sudut C. Perhatikan gambar di samping! Ismail sedang berlibur bersama keluarganya ke Citra Grand Semarang. Ismail menyadari bahwa besi besi yang menopang bianglala tersebut berbentuk penyangga bianglala tersebut terlihat membentuk kumpulan segitiga –segitiga yang melingkari titik pusatnya. Jika jari-jari bianglala tersebut adalah10m, dan jarak antar bianglala yang satu dengan yang lainnya adalah jenis segitiga yang terbentuk dari jari-jari bianglala dan jarak antarbianglala jari-jari bianglala tersebut adalah 10m, dan jarak antar bianglala yangsatu dengan yang lainnya adalah Jenis segitiga yang terbentuk dari jari-jari bianglala dan jarak antarbianglala. 10m BPenyelesaianIlustrasi gambar C 3mAda du acara penyelesaian. 10m Ai Menggunakan teorema Pythagoras 2 = 32 = 9 2 + 2 = 42 = 16 2 = 2,52 = 6,25 2 = 32 = 9maka merupakan segitiga tumpul di C. Sisi c dihadapan sudut Menemukan dan Memeriksa Tripel PythagorasPanjang sisi dari segitiga siku-siku sering kali dinyatakan dalam tiga bilangan tiga bilangan yang memenuhi persamaan pada teorema Pythagoras disebutTripel menguji tripel Pythagoras dengan mengkuadratkan panjang hipotenusa, yakni 2, kemudian menghitung 2 + 2. Jika kedua penghitungan tersebut memilikinilai yang sama. Maka ketiga bilangan tersebut adalah tripel gambar berikut! 24kmSuatu hari Naufal dan Luthfi 10kmmerencanakan akan pergiberlibur ke pantai MarinaSemarang. Naufal menjemputLuthfi untuk berangkat bersama-sama ke Naufal berada di sebelah barat rumah Luthfi dan pantai Marinaterletak tepat di sebelah utara rumah Luthfi. Jarak rumah Naufal dan Luthfiadalah 10km sedangkan jarak rumah Luthfi ke pantai Marina adalah selisih jarak yang ditempuh Naufal antara menjemput Luthfi terlebih dahulu, dengan langsung berangkat sendiri ke pantai?b. Selidiki lintasan yang ditempuh Naufal! Apakah benar-benar membentuk segitiga siku-siku? Jelaskan!Diketahui Jarak rumah Naufal dan Luthfi adalah 10m sedangkan jarakrumah Luthfi ke pantai Marina adalah a. Jarak yang ditempuh Naufal jika langsung berangkat sendiri ke pantai? b. Selidiki apakah benar-benar membentuk segitiga siku-siku?Penyelesaian mencari jarak yang ditempuh Naufal jika langsung berangkat adalah mencari panjang sisi hipotenusa. Gunakan persamaan teorema Pythagoras 2 = 2 + 2 2 = 102 + 242 2 = 100 + 576 2 = 676 = 26 Untuk menjawab pertanyaan b, amati terlebih dahulu fakta berikut! Jadi jarak yang ditempuh Naufal dengan langsung berangkat adalah 25km. Bilangan 10, 24, dan 26 membentuk tripel Pythagoras karena 262 = 102 + 242. Jika kita mengalikan ketiga bilangan tersebut dengan bilangan lain, tiga bilangan yang baru juga akan membentuk tripel Pythagoras. Misalnya, kita mengalikan ketiga bilangan tersebut dengan 12, kita mendapatkan 13, 5, dan 12. Ketiga bilangan ini memenuhi teorema 2 = 2 + 2 2 = 52 + 122 2 = 25 + 144 2 = 169 = 13Aljabar dapat digunakan untuk menentukan himpunan bilangan yangmerupakan Tripel Pythagoras. Terdapat du acara yang dapat dilakukan, yairusebagai Dengan menentukan sebarang dua bilanganCara ini meminta kita untuk menentukan sebarang dua bilangan dan menerapkanaturan kepada dua bilangan yang telah ditentukan, untuk selanjutnya menghasilkantripel gambar berikut. Dengan panjang sisi segitiga siku-siku adalah 2 + 2, 2 − 2, 2 . Dengan ukuran panjang itum ketiganya akan membentuk tripel Pythagoras. Kita akan menguji dengan melakukan kegiatan berikut. Isilah tabel berikut dengan sebarang dua bilangan asli p dan q sedemikian sehingga p < q, dengan tujuan untuk menentukan tiga bilangan yang membentuk tripel melengkapi tabel di atas, kita sudah menemukan beberapa pengamatan kalian, kalian mungkin bertanya mengapa panjangsisi segitiga siku-siku harus 2 + 2, 2 − 2, 2 ? apakah sisi-sisitersebut memenuhi teorema Pythagoras? Buatlah pertanyaan selain yang sudahdisebutkan terkait tripel Pythagoras. Silakan ajukan pertanyaan yang telahkalian buat kepada guru atau teman kita jawab pertanyaan b pada contoh penyelesaian sebelumnya, telah diketahui bahwa jarak rumah Naufal danLuthfi adalah 10km sedangkan jarak rumah Luthfi ke pantai Marina adalah24km, dan jarak rumah Naufal langsung ke pantai Marina adalah 26km. b. Selidiki apakah lintasan yang ditempuh Naufal benar-benar membentuk segitiga siku-siku? Penyelesaian Kita masukkan ke dalam persamaan tripel Pythagoras diatas yaitu 2 + 2, 2 − 2, 2 2 + 2 adalah panjang sisi hipotenusa, yaitu 25. 2 + 2 = 26 52 + 12 = 26 Jadi p=5 dan q=1, sehingga kita cek untuk 2pq dan 2 − 2 2 = 2 × 5 × 1 = 10 2 − 2 = 52 − 12 = 24 Jadi 10, 24, 25 adalah tripel 10,24,25 tripel Pythagoras, sehingga memenuhi persamaan tripelPythagoras. Jadi, lintasan yang ditempuh Naufal tersebut adalah berbentuksegitiga Dengan menentukan sebarang satu bilangan khusus untuk panjang sisiterpendek bilangan ganjilSelain dengan menggunakan cara seperti pada tabel diatas, kita bisa mencaribilangan-bilangan yang memenuhi tripel Pythagoras dengan cara Pilihlah sebarang bilangan ganjil dan bilangan ini kita jadikan sebagaipanjang sisi terpendek dari Gunakan rumus = 2−1 dengan S = panjang sisi terpendek untuk 2kemudian menghitung M yang merupakan panjang sisi tegak Kalian telah mendapatkan dua sisi tegak dari segitiga siku-siku. Untukmencari panjang sisi hipotenusa, gunakan rumus teorema Pythagoras yaitu 2 + 2 = 2. diketahui tinggi tanggatersebut adalah 3m, tentukana. Panjang anak tangga yang harus ditempuh Arini?b. Jarak antara tembok penyangga dengan ujung anak tangga?Keterangan tinggi tangga tersebut merupakan sisi terpendek segitigasiku-siku yang terbentuk dari panjang sisi-sisi anak tangga21Diketahui Tinggi tangga tersebut adalah 3mDitanya a. Panjang anak tangga yang harus ditempuh Arini?b. Jarak antara tembok penyangga dengan ujung anak tangga?Penyelesaian a. Panjang anak tangga yang harus ditempuh AriniDari soal telah diketahui panjang sisi terpendek s adalah 3m, masukkankedalam persamaan = 2−1 , sehingga 2 2−1 = 2 = 32−1 2 9−1 = 2 = 4Jadi, panjang anak tangga yang harus ditempuh Arini adalah Jarak antara tembok penyangga dengan ujung anak tangga Dari soal sudah diketahui bahwa panjang sisi terpendek adalah 3m, sedangkan panjang sisi siku-siku yang lainnya adalah 4m, maka kita cari panjang sisi hipotenusa dengan menggunakan persamaan teorema Pythagoras 2 + 2 = 2. .Panjang sisi hipotenusa 2 + 2 = 2 32 + 42 = 2 9 + 16 = 2 25 = 2 5 = Jadi, Jarak antara tembok penyangga dengan ujung anak tangga adalah pada informasi yang telah kalian ketahui tentang tripel Pythagorasdengan menggunakan rumus = 22−1. Mengapa aturan ini hanya berhasil jikasisi terpendeknya adalah bilangan ganjil?Diskusikan jawaban Ayo Kita Menalar di atas dengan teman kalian. Kemudian,sampaikan hasil menalar kalian di Menemukan Perbandingan Sisi-sisi pada Segitiga Siku- siku Sama KakiTeorema Pythagoras dapat digunakan untuk melakukan penyelidikan terhadapsifat menarik dari segitiga siku-siku sama kaki dan segitiga siku-siku yang besarsudutnya 30° − 60° − 90°. Dalam kegiatan ini kita akan menemukan hubunganantar panjang sisi pada segitiga siku-siku sama kaki dan segitiga siku-siku30° − 60° − 90°.Salah satu dari segitiga khusus adalah 45°segitiga siku-siku sama kaki dengan besarketiga sudutnya adalah 45° − 45° − 90°. 45°Setiap segitiga siku-siku sama kaki adalah Gambar Segitigasetengah dari persegi. siku-siku sama kaki23Buatlah pertanyaan yang terkait dengan panjang sisi segitiga siku-siku samakaki. Misalnya, “Bagaimana hubungan antara ketiga sisi pada segitiga siku-sikusama kaki? Bagaimana menghitung panjang salah satu sisi segitiga siku-sikusama kaki jika hanya salah satu panjang sisi segitiga yang diketahui?”.Kalian bisa mengajukan pertanyaan yang telah kalian buat kepada guru atauteman menjawab pertanyaan yang mungkin kalian pikirkan, lakukan kegiatan dibawah menggunakan teorema Pythagoras, tentukan panjang sisi hipotenusasetiap segitiga siku-siku sama kaki pada Gambar di bawah ini. Kemudian,sederhanakan setiap bentuk akar kuadratnya. Gambar dan lengkapi tabel berikut. Panjang sisi siku-siku 1 2 3 4 5 6 … 10 … p Panjang hipotenusa24Perhatikan panjang hipotenusa setiap kolom yang telah kalian pola yang terbentuk dari panjang sisi siku-siku dan panjangsisi miring pada segitiga siku-siku sama kaki?Jika diberikan segitiga siku-siku sama kaki A, B Atentukan rasio AB AC BC. CDengan menggunakan kalimat kalian sendiri,tentukan hubungan panjang ketiga sisi darisegitiga siku-siku sama kaki. Sampaikan didepan kelas dan bandingkan dengan jawabanteman kalian yang lain. Gambar jawaban Ayo Kita Menalar di atas dengan teman smapaikan hasil menalar kalian di lebih memahami penggunaan rasio panjang sisi segitiga siku-siku samakaki, amatilah contoh berikut. gambar di bawah!Pada saat acara manakib akbar di Masjid Agung Jawa Tengah, payungraksasa masjid dibuka. Ada 6 buah payung raksasa yang ada di masjidtersebut. Bentuk dari atap masing-masing payung tersebut terlihat sepertipersegi. Jika diketahui panjang diagonal dari payung tersebut adalah 15√2 tentukan panjang sisi dari payung raksasa Payung Raksaksa Masjid Agung Jawa TengahDiketahui payung raksaksa masjid agung jawa tengah berbentuk persegi,dengan diagonal 15√2 panjang sisi payung raksasa BPerhatikan ilustrasi gambar di samping!Karena bentuk payung raksaksa adalah persegi, C Amaka panjang keempat sisi payung tersebut Gambar dan semua sudutnya adalah 90°.Sehingga, ketika diambil garis diagonal akanmengakibatkan terbentuknya dua segitiga siku-siku sama kaki, dengan sudut-sudut kakinyayaitu 45°.Sehingga kita bisa menyelesaikannya sesuai dengan dua cara, yaitu dengancara memasukannya kedalam persamaan teorema Pythagoras, ataumenggunakan perbandingan Dengan menggunakan persamaan teorema Pythagoras 2 + 2 = 2 2 + 2 = 15√22 ……… karena persegi, panjang sisinya sama2 2 = 225 × 2 2 = 225 = 15Jadi, panjang sisi payung masjid agung jawa tengah tersebut adalah 15 Dengan menggunakan perbandingan sisiPerbandingan panjang sisi pada segitiga siku-siku sama kaki adalah1 ∶ √2 ∶ 1 sehingga diperoleh sebagai berikutCA AB = 1 ∶ √2CA 15√2 = 1 ∶ √2CA = 15 mJadi panjang sisi payung raksaksa masjid agung jawa tengah adalah 15 m. Sebuah kapal nelayan dari Tambaklorok kota Semarang berlayar pangkalan kapal ke ° arah utara sejauh 10km. Karena dia tidak menemukan banyak ikan, nelayan tersebut kemudian membelokkan kapalnya ke arah timur dengan jarak yang sama yaitu sejauh ° 10km. Setelah mendapatkan cukup ikan, nelayan tersebut akhirnya membawa kapalnya kembali pulang ke Berapakah jarak perpindahan kapal nelayan tersebut dari titik awal keberangkatan ke titik dimana ia mendapatkan ikan?b. Berapakah perbandingan jarak yang ditempuh nelayan setiap perpindahan posisinya?27 Ilustrasi °DiketahuiKapal nelayan berlayar dari pangkalan ke utara 10km, ke timur dengan jarakyang sama yaitu 10km dan mendapat ikan, kemudian kembali ke jarak/perpindahan kapal dari titik awal ke titik dimana ia mendapat ikan? perbandingan jarak yang ditempuh kapal setiap perpindahan posisi?Penyelesaiana. Jarak/perpindahan kapal dari titik awal ke titik dimana ia mendapat ikan. Lintasan perjalanan kapal nelayan tersebut membentuk segitiga siku-siku sama kaki. Sehingga untuk mencari jarak perpindahan tersebut, gunakan rumus teorema Pythagoras untuk mencari hipotenusa. 2 = 2 + 2 2 = 102 + 102 2 = 100 + 100 2 = 200 = 10√2 kmJadi, jarak/perpindahan kapal dari titik awal ke titik dimana ia mendapat ikanadalah 10√2 Perbandingan jarak yang ditempuh kapal setiap perpindahan posisi. AB BC CA 10 10√2 10Jadi, perbandingan jarak yang ditempuh kapal setiap perpindahan posisi adalah 10 10√2 10 atau 1 √2 ∶ 10KEGIATAN Menentukan Perbandingan Panjang SIsi Segitiga yang bersudut 30° − 60° − 90°Salah satu dari segitiga khusus lainnya adalah segitiga dengan besar ketigasudutnya adalah 30° − 60° − 90°. Bagaimana cara kita menentukan hubunganpanjang ketiga sisi pada segitiga ini? Sama halnya pada segitiga siku-siku samakaki, kita bisa dengan mudah menentukan panjang salah satu sisi segitiga siku-siku yang bersudut 30° − 60° − 90° meskipun hanya diketahui salah satu panjangsisinya. Untuk mengetahui bagaimana caranya, lakukan kegiatan gambar dibawah ini!Gambar adalah salah satu spot foto yang cukup popular yang berada ditempat wisata mangrove edupark pantai maroon. Terlihat pada gambar, seorangwisatawan sedang berfoto di dalam gubuk yang lubang pintunya berbentuksegitiga sama lubang pintu tersebut diibaratkan sebagai segitiga sama sisi ABC, sedangkanCD adalah garis simetri pada segitiga Salah Satu Spot Foto di tempat Wisata Mangrove Edupark Maron1. Berapakah besar ketiga sudut ABC?2. Hitunglah besar sudut-sudut di bawah ini ! a. ∠ b. ∠ c. ∠ d. ∠ 3. Bagaimanakah panjang ruas garis AD dan BD?4. Berapakah perbandingan panjang sisi BD dan AB? Berapakah perbandingan panjang sisi BD dan BC?5. Perhatikan segitiga BDC. Jika diketahui panjang BC = 4m, tentukan a. Panjang BD, b. Panjang pertanyaan yang terkait dengan panjang sisi segitiga siku-siku dengansudut 30° − 60° − 90°. Misalnya, “Bagaimana hubungan antara ketiga sisi padasegitiga siku-siku dengan sudut 30° − 60° − 90° ? Bagaimana menghitungpanjang salah satu sisi segitiga siku-siku dengan sudut 30° − 60° − 90° jikahanya salah satu panjang sisi segitiga saja yang diketahui?” Kalian bisamengajukan pertanyaan yang telah kalian buat kepada guru atau teman menjawab pertanyaan yang mungkin kalian pikirkan, lakukankegiatan di bawah adalah tabel yang berisi tentang panjang sisi-sisi pada segitiga siku-siku 30° − 60° − 90°. Gunakan teorema Pythagoras untuk melengkapi sisisiku-siku 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10terpendekPanjang sisihipotenusaPanjang sisisiku-sikuyang lainSetelah melengkapi tabel di atas, jawab pertanyaan kalian melihat pola pada panjang sisi-sisi segitiga siku-siku 30° − 60° −90° ?Jika iya, bagaimana polanya?Jika panjang sisi terpendek segitiga siku-siku 30° − 60° − 90° adalah a satuan,berapakah panjang sisi hipotenusa dan sisi siku-siku yang lain?Apakah pola tersebut juga bisa berlaku untuk segitiga siku-siku yang lain?Jelaskan. BJika diberikan segitiga siku-siku ABC 30°dengan besar ∠ = 60°, berapakahrasio AB BC AC ?Dengan menggunakan kalimat kalian sendiri, buatlah 60° Akesimpulan tentang hubungan panjang ketiga sisi darisegitiga siku-siku 30° − 60° − 90°. Sampaikan di Gambar kelas, dan bandingkan dengan jawaban teman Ckalian yang lain31Diskusikan jawaban Ayo Kita Menalar di atas dengan teman sampaikan hasil menalar kalian di lebih memahami penggunaan rasio panjang sisi segitiga siku-sikudengan sudut 30° − 60° − 90°, amatilah contoh soal berikut. Gambar di samping menunjukkan lemari bawah tangga yang berbentuk segitiga siku-siku dengan sudut antara ujung tangga dan lantai, telah diketahui yaitu 30°. Jika panjang tangga adalah 4m, tentukan panjang kedua sisi penyikunya!Telah diketahui dari soal, bahwa lemari tersebuut berbentuk segitiga siku-siku dengan sudut 30° − 60° − 90°. Maka kita bisa menggunakanperbandingan tiap sisinya yaitu AC CB BA = 1 ∶ √3 ∶ 2, sehinggaa. Panjang AC BA = 2 1 b. Panjang BC BA = √3 ∶ 2AC = 1 × 4 = 2 m BC = 1 √3 × 4 = 2√3 m 2 2Jadi, panjang sisi penyiku dari lemari tersebut adalah 2 m dan 2√3 MATEMATIKA • Kelas VIII SMP/MTs • Semester 2 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN REPUBLIK INDONESIA 2017 MATEMATIKA SMP/MTs VIIIKELAS SEMESTER 2MATEMATIKA SMP/MTs VIIIKELAS SEMESTER 2Hak Cipta © 2017 pada Kementerian Pendidikan dan KebudayaanDilindungi Undang-UndangDisklaimer Buku ini merupakan buku siswa yang dipersiapkan Pemerintah dalam rangkaimplementasi Kurikulum 2013. Buku siswa ini disusun dan ditelaah oleh berbagai pihak dibawah koordinasi Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan, dan dipergunakan dalam tahapawal penerapan Kurikulum 2013. Buku ini merupakan “dokumen hidup” yang senantiasadiperbaiki, diperbaharui, dan dimutakhirkan sesuai dengan dinamika kebutuhan danperubahan zaman. Masukan dari berbagai kalangan yang dialamatkan kepada penulis danlaman atau melalui email [email protected] diharapkandapat meningkatkan kualitas buku Dalam Terbitan KDTIndonesia. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. Matematika / Kementerian Pendidikan dan . Edisi Revisi JakartaKementerian Pendidikan dan Kebudayaan, 2017. viii, 344 hlm. ilus. ; 25 SMP/MTs Kelas VIII Semester 2ISBN 978-602-282-984-3 jilid lengkapISBN 978-602-282-988-1 jilid 2b1. Matematika - Studi dan Pengajaran I. Judul II. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan 510Penulis Abdur Rahman As’ari, Mohammad Tohir, Erik Valentino, Zainul Imron, Ibnu Agung Lukito, Ali Mahmudi, Turmudi, Yansen Marpaung, Yudi Satria, Guru Dedi Penerbitan Pusat Kurikulum dan Perbukuan, Balitbang, Ke-1, 2014 ISBN 978-602-282-098-7 jilid 2Cetakan Ke-2, 2017 Edisi RevisiDisusun dengan huruf Times New Roman, 12 PengantarSyukur alhamdulillah penulis panjatkan ke hadirat Allah Swt., karena hidayahdan inayah-Nya penulisan buku siswa ini dapat terselesaikan dengan waktuyang telah ditetapkan oleh Pusat Kurikulum dan Perbukuan KementrianPendidikan dan Kebudayaan Republik siswa ini merupakan bahan ajar mata pelajaran Matematika untukpegangan siswa pada jenjang Sekolah Menengah Pertama/MadrasahTsanawiyah berdasarkan Kurikulum 2013 yang disempurnakan dengantujuan untuk membantu siswa dalam proses belajar adalah bahasa universal dan karenanya kemampuan matematikasiswa suatu negara sangat mudah dibandingkan dengan negara lain. Selain dariitu, matematika juga dipakai sebagai alat ukur untuk menentukan kemajuanpendidikan di suatu negara. Kita mengenal PISA Program for InternationalStudent Assessment dan TIMSS The International Mathematics andScience Survey yang secara berkala mengukur dan membandingkan antaralain kemajuan pendidikan matematika di beberapa internasional semacam ini memberikan arahan dalam merumuskanpembelajaran matematika di SMP/MTs. Hasil pembandingan antara yangkita ajarkan selama ini dengan yang dinilai secara internasional menunjukkanadanya perbedaan, baik terkait materi maupun kompetensi. Perbedaaanini menjadi dasar dalam merumuskan pembelajaran matematika dalamKurikulum 2013 yang Siswa Matematika Kelas VIII SMP/MTs Kurikulum 2013 ini ditulisdengan berdasarkan pada materi dan kompetensi yang disesuaikan denganstandar internasional tersebut. Terkait materi misalnya, sebagai tambahan,sejak kelas VII telah diajarkan antara lain tentang bilangan, himpunan,aljabar dan penerapannya, perbandingan, geometri, dan penyajian antara matematika angka dan matematika pola dan bangunselalu dijaga. Kompetensi pengetahuan bukan hanya sampai memahamisecara konseptual tetapi sampai ke penerapan melalui pengetahuan proseduraldalam pemecahan masalah matematika. Kompetensi keterampilan berpikirjuga diasah untuk dapat memecahkan masalah yang membutuhkan pemikiranorder tinggi seperti menalar pemecahan masalah melalui permodelan,pembuktian, dan perkiraan/ awal bab pada buku siswa ini disajikan kover bab. Bagian ini berisiilustrasi dan deskripsi singkat yang menarik berkaitan dengan materi babyang bersangkutan. Selain itu, di awal bab juga disajikan KompetensiKurikulum 2013 MATEMATIKA iiiDasar dan Pengalaman Belajar yang akan siswa capai dalam setiap kunci merupakan inti dari materi. Bacalah terlebih dahulu kata-kata kuncinya sebelum kalian mempelajari isi materi dalam buku siswa ini berupa kegiatan-kegiatan pembelajaran yangmenuntut siswa secara aktif untuk terlibat dalam pembelajaran sehinggasiswa akan mendapatkan pengalaman yang diharapkan. Pada setiap awalpembelajaran berisi konteks atau masalah terkait dengan kegiatan. Masalahyang disajikan ada yang diberikan beserta pemecahannya, ada yangdilengkapi dengan petunjuk pemecahan masalah, dan ada yang dibiarkanberupa masalah untuk dipecahkan siswa. Pada setiap Membelajarkanmengikuti pendekatan ilmiah, yaitu mengamati, menanya, menggaliinformasi, menalar, dan mengomunikasikan yang disajikan dengan ikon-ikon tertentu, yaitu Ayo Kita Amati, Ayo Kita Menanya, Ayo Kita MenggaliInformasi/Sedikit Informasi/Ayo Kita Mencoba, danAyo Kita Berbagi. Bukusiswa ini menjabarkan usaha minimal yang harus dilakukan siswa untukmencapai kompetensi yang diharapkan. Sesuai dengan pendekatan yangdipergunakan dalam Kurikulum 2013, siswa diberanikan untuk mencaridari sumber belajar lain yang tersedia dan terbentang luas di mempelajari materi pada buku siswa ini, siswa diharapkanmemahami materi yang disajikan. Oleh karena itu, konsep yang disajikanpada buku ini disampaikan secara logis, sistematis, dan menggunakanbahasa yang sederhana. Selain itu, buku ini juga memiliki tampilan yangmenarik sehingga siswa tidak akan merasa bosan. Peran guru sangatpenting untuk meningkatkan dan menyesuaikan daya serap siswa denganketersediaan kegiatan pada buku ini. Guru dapat memperkayanya dengankreasi dalam bentuk kegiatan-kegiatan lain yang sesuai dan relevan yangbersumber dari lingkungan sosial dan ini merupakan edisi ketiga sebagai penyempurnaan dari edisi pertamadan kedua. Buku ini masih sangat terbuka dan perlu terus dilakukanperbaikan untuk penyempurnaan. Oleh karena itu, kami mengundangpara pembaca memberikan kritik, saran, dan masukan untuk perbaikandan penyempurnaan pada edisi berikutnya. Atas kontribusi tersebut, kamimengucapkan terima kasih. Mudah-mudahan kita dapat memberikan yangterbaik bagi kemajuan dunia pendidikan dalam rangka mempersiapkangenerasi seratus tahun Indonesia Merdeka 2045.Jakarta, Januari 2016Tim Penulisiv Kelas VIII SMP/MTs Semester IIDaftar IsiKata Pengantar......................................................................................iiiDaftar Isi.................................................................................................vBab 6 Teorema Memeriksa Kebenaran Teorema Pythagoras...................................5 Ayo Kita Berlatih ..................................................................... Menerapkan Teorema Pythagoras untuk Menyelesaikan Masalah 15 Ayo Kita Berlatih ..................................................................... Menentukan Jenis Segitiga ............................................................ Menemukan dan Memeriksa Tripel Pythagoras ...........................28 Ayo Kita Berlatih ..................................................................... Menentukan Perbandingan Sisi-sisi pada Segitiga Siku-siku Sama kaki ...................................................................................... Menentukan Perbandingan Sisi-sisi pada Segitiga yang Bersudut 30°, 60°, dan 90° ............................................................36 Ayo Kita Berlatih .....................................................................40Ayo Kita Mengerjakan Projek 6 ..............................................................43Ayo Kita Merangkum 6 ...........................................................................44Uji Kompetensi 6 ....................................................................................45Kurikulum 2013 MATEMATIKA vBab 7 Mengenal Lingkaran.......................................................................57 Ayo Kita Berlatih ..................................................................... Menentukan Hubungan antara Sudut Pusat dan Sudut Keliling ....72 Ayo Kita Berlatih ..................................................................... Menentukan Panjang Busur dan Luas Juring..................................79 Ayo Kita Mengerjakan Projek ..................................................82 Ayo Kita Mengerjakan Projek ..................................................83 Ayo Kita Berlatih ..................................................................... Mengenal Garis Singgung Lingkaran ............................................ Menentukan Garis Singgung Persekutuan Luar Dua Lingkaran ...97 Ayo Kita Berlatih ..................................................................... Menentukan Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaran .105 Ayo Kita Berlatih .....................................................................110Ayo Kita Merangkum 7 ...........................................................................112Uji Kompetensi 7.....................................................................................113Bab 8 Bangun Ruang Sisi Menentukan Luas Permukaan Kubus dan Balok ...........................126 Ayo Kita Berlatih Menentukan Luas Permukaan Prisma ............................................135 Ayo Kita Berlatih ..................................................................... Menentukan Luas Permukaan Limas .............................................148 Ayo Kita Berlatih .....................................................................152vi Kelas VIII SMP/MTs Semester Menentukan Volume Kubus dan Balok .........................................155 Ayo Kita Berlatih ..................................................................... Menentukan Volume Prisma ..........................................................168 Ayo Kita Berlatih ..................................................................... Menentukan Volume Limas ...........................................................181 Ayo Kita Berlatih ..................................................................... Menentukan Luas Permukaan dan Volume Bangun Ruang Sisi Datar Gabungan ......................................................................192 Ayo Kita Berlatih ..................................................................... HubunganAntar Diagonal Ruang, Diagonal Bidang, dan Bidang Diagonal .204 Ayo Kita Berlatih .....................................................................213Ayo Kita Mengerjakan Projek 8...............................................................215Ayo Kita Merangkum 8 ...........................................................................215Uji Kompetensi 8 ....................................................................................216Bab 9 Menganalisis Data dari Distribusi Data yang Diketahui.................227 Ayo Kita Berlatih ..................................................................... Menentukan Nilai Rata-rata Mean dari Suatu Data.....................233 Ayo Kita Berlatih ..................................................................... Menentukan Median dan Modus Suatu Data..................................244 Ayo Kita Berlatih Menentukan Ukuran Penyebaran Data...........................................256 Ayo Kita Berlatih Kita Mengerjakan Projek 9 ..............................................................261Kurikulum 2013 MATEMATIKA viiAyo Kita Merangkum 9............................................................................262Uji Kompetensi 9 ....................................................................................263Bab 10 Peluang Empirik .............................................................................275 Ayo Kita Berlatih ...................................................................279 Ayo Kita Mengerjakan Projek ................................................ Peluang Teoretik.............................................................................285 Ayo Kita Berlatih ...................................................................291 Ayo Kita Mengerjakan Projek ................................................ Hubungan Peluang Empirik dan Peluang Teoretik.........................293 Ayo Kita Berlatih ...................................................................298Ayo Kita Mengerjakan Projek .........................................................301Ayo Kita Merangkum 10 .........................................................................301Uji Kompetensi 10...................................................................................302Uji Kompetensi Semester 2 ..................................................................311Daftar Pustaka ......................................................................................322Glosarium ..............................................................................................325Indeks .....................................................................................................329Profil Penulis ..........................................................................................331Profil Penelaah ......................................................................................335Profil Editor............................................................................................344Profil Ilustrator .....................................................................................344viii Kelas VIII SMP/MTs Semester IIBab 6 Teorema PythagorasSumber Gambar Seorang tukang sedang mengukur kesikuan lahan Cara membuat sudut siku bangunan merupakan ilmu yang sering digunakan dalam pelaksanaan pembangunan konstruksi gedung bertingkat tinggi. Dalam pembangunan rumah tinggal juga sering menggunakan konstruksi yang siku. Mengapa harus siku? Meskipun terkesan sederhana namun kesikuan ini akan memengaruhi keindahan, kekuatan, dan bahkan biaya bangunan. Tukang bangunan menggunakan salah satu rumusan segitiga yang apabila diterapkan pada pelaksanaan bangunan akan menghasilkan sudut siku 90 derajat. Peralatan yang digunakan adalah benang ukur, patok atau paku, serta meteran. Intinya para tukang membuat sebuah segitiga yang ketiga sisinya mempunyai perbandingan panjang 345. Misalnya mereka menggunakan ukuran 3 m 4 m 5 m. Tahukah kalian mengapa para tukang harus menggunakan perbandingan 345? Apakah ada ukuran selain 3, 4, dan 5? Masalah di atas akan kalian ketahui jawabannya setelah mempelajari bab 2013 MATEMATIKA 1• Segitiga siku-siku• Hipotenusa• Tripel Pythagoras Kompetensi Menjelaskan dan membuktikan teorema Pythagoras dan tripel Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan teorema Pythagoras dan tripel Pythagoras. Pengalaman Belajar1. Memeriksa kebenaran teorema Menentukan panjang sisi segitiga siku-siku jika panjang dua sisi Menentukan jenis segitiga berdasarkan panjang sisi-sisi yang Menemukan dan menguji tiga bilangan apakah termasuk tripel Pythagoras atau bukan tripel Menerapkan teorema Pythagoras untuk menyelesaikan permasalahan Kelas VIII SMP/MTs Semester IIKPeotnasep Teorema c Pythagoras a b c2 = a2 + b2 Tripel Segitiga-segitiga PenerapanPythagoras Khusus Teorema Pythagoras Segitiga SegitigaSiku-Siku Siku-SikuSama kaki dengan Sudut 30° - 60° - 90° 3Pythagoras 582 SM – 496 SM lahir di pulau Samos, di daerah Ionia, Yunani Selatan. Salah satu peninggalan Pythagoras yang paling terkenal hingga saat ini adalah teorema Pythagoras. Teorema Pythagoras menyatakan bahwa kuadrat sisi miring suatu segitiga siku- siku sama dengan jumlah kuadrat dari sisi-sisi yang lain. Yang unik, ternyata rumus ini tahun sebelum masa Phytagoras. Orang-orang Pythagoras Yunani sudah mengenal penghitungan “ajaib” ini. Walaupun faktanya isi teorema ini telah582 SM – 496 SM banyak diketahui sebelum lahirnya Pythagoras,namun teorema ini dianggap sebagai temuan Pythagoras, karena ia yangpertama membuktikan pengamatan ini secara matematis. Pythagorasmenggunakan metode aljabar untuk membuktikan teorema uraian di atas dapat kita ambil beberapa kesimpulan,antara lain1. Pythagoras adalah orang yang mempunyai rasa ingin tahu yang sangat tinggi. Sekalipun teorema tentang segitiga siku-siku sudah dikenal masyarakat sebelumnya, tetapi dia terus menggalinya sehingga dapat membuktikan kebenaran teorema tersebut secara Tanpa kita sadari ternyata bumi yang indah beserta kehidupan yang ada di dalamnya ini tidak lepas dari perhitungan matematika. Oleh karena itu, kita perlu belajar Matematika dengan lebih mendalam, sehingga bisa menguak rahasia alam sekaligus membuktikan ke-Mahabesaran ciptaan Matematika adalah ilmu yang menarik untuk kita pelajari, bukan ilmu yang menyeramkan seperti dikatakan sebagian orang. Karena telah banyak sejarah yang menceritakan tentang peran matematika dalam memajukan peradaban manusia, salah satunya adalah teorema Pythagoras yang menjadi spelopor perkembangan ilmu geometri dan arsitektur. Sumber Memeriksa Kebenaran Teorema PythagorasSumber Teorema Pythagoras banyak Gambar Tukang bangunan dimanfaatkan dalam kehidupan sehari-hari. Salah satu di antaranya dalam bidang pertukangan. Seorang tukang yang akan membangun rumah biasanya mengukur lahan yang akan dibangun. Tukang tersebut memastikan bahwa sudut- sudut pondasi bangunan benar-benar siku-siku dengan cara menggunakan segitiga dengan kombinasi ukuran sisi 60 cm, 80 cm, dan 100 tukang bangunan sendiri tidak menyadari mengapa bilangan ituyang tepat untuk membentuk sudut siku-siku. Untuk mengetahui kebenarancara yang digunakan oleh tukang bangunan tersebut, kita akan pelajari padakegiatan berikut ini. Ayo Kita AmatiDalam Kegiatan ini, kita akan mempelajari tentang teorema Pythagorasdan memeriksa kebenarannya. Pembuktian teorema Pythagoras berkaitan eratdengan luas persegi dan segitiga. Pythagoras telah mengungkapkan bahwakuadrat panjang sisi miring suatu segitiga siku-siku sama dengan jumlahkuadrat panjang sisi-sisi yang lain. Untuk memeriksa kebenarannya, lakukankegiatan dengan langkah-langkah Sediakan kertas HVS atau kertas berpetak, kertas karton, pensil, penggaris, dan Buatlah tiga buah persegi dari kertas yang sudah disediakan dengan panjang sisi setiap persegi adalah a = 3 satuan 3 kotak, b = 4 satuan, dan c = 5 satuan. Kemudian guntinglah ketiga persegi 2013 MATEMATIKA 53. Tempel ketiga persegi tersebut di A karton sedemikian sehingga dua dari empat sudut mereka saling berimpit BC dan membentuk segitiga di dalamnya. Tampak pada Gambar Segitiga Gambar Segitiga siku-siku apakah yang terbentuk? dengan panjang sisi 3, 4, 5 satuan4. Perhatikan luas ketiga persegi. Apakah luas persegi yang terbesar sama dengan jumlah dua luas persegi yang kecil?5. Ulangi langkah nomor 2 dan 3 dengan membuat persegi yang berukuran a = 6 satuan, b = 8 satuan, dan c = 10 Setelah melakukan kegiatan tersebut, apa yang dapat kalian ketahui tentang hubungan nilai a, b, dan c?Untuk lebih meyakinkan kalian tentang hubungan nilai a, b, dan c, lanjutkandengan kegiatan kertas berpetak, gambar tiga segitiga siku-siku ABC dengan tiga ukuranyang = 5 satuan, BC = 12 satuanAB = 8 satuan, BC = 15 satuanAB = 9 satuan, BC = 12 satuanUkurlah panjang sisi yang ketiga dari setiap tabel berikut berdasarkan ketiga segitiga yang telah kalian ABC AB BC AC AB2 BC2 AC2 a. ... ... ... ... ... ... b. ... ... ... ... ... ... c. ... ... ... ... ... ...6 Kelas VIII SMP/MTs Semester II? Ayo Kita MenanyaSetelah kalian melakukan kegiatan dan mengamati tabel di depan, buatlahpertanyaan lain terkait dengan segitiga siku-siku. Kalian bisa membuatpertanyaan yang memuat “panjang sisi segitiga”, “pembuktian teoremaPythagoras”, dan lainnya. Misalnya, bagaimanakah hubungan panjang sisi-sisi pada segitiga siku-siku ABC yang telah kalian buat? Apakah ada cara lainuntuk memeriksa kebenaran teorema Pythagoras?=+ Ayo Kita+ Menggali InformasiTerdapat lebih dari 200 pembuktian dari teorema Pythagoras. Elisha ScottLoomi mempublikasikannya pada tahun 1927, termasuk di dalamnyapembuktian oleh Pythagoras sendiri, Euclid, Leonardo da Vinci, dan PresidenAS James Salah satu pembuktian yang terkenal akan kita pelajaridi bawah ini salah satu pembuktian lengkap untuk memeriksa kebenaranteorema Pythagoras. ba b a a1 2 a2a1 2 a c2 cb b b2 b c c2 3 b4 ab 3a b2 a2 4 iii ab ab a+b a+b i ii Gambar Pembuktian teorema PythagorasBerdasarkan Gambar , kita bisa menyusun empat segitiga siku-siku padaGambar ke dalam persegi pada Gambar Kita perlu membuktikanbahwa a2 + b2 sama dengan c2. Perhatikan bahwa luas persegi yang terbentukoleh empat segitiga siku-siku pada Gambar adalah a + b2, atauKurikulum 2013 MATEMATIKA 7a2 + 2ab + b2. Luas setiap segitiga adalah 1ab, sehingga jumlah luas keempat 2segitiga adalah 2ab. Dengan menggunakan pengurangan, luas persegi yangdibatasi oleh empat segitiga adalah a2 + 2ab + b2 − 2ab atau a2 + Gambar Gambar tersebut disusun dari potongan-potonganGambar dan Dengan demikian, luas persegi pada sisi hipotenusaadalah c2, dan jumlah luas persegi pada kedua sisi tegaknya adalah a2 + b2. c Pada Gambar segitiga di samping adalah segitigaa siku-siku. Panjang sisi siku-sikunya sisi tegak adalah a dan b. Panjang sisi miring hipotenusa adalah c. b Setelah kalian mengamati dan menggali informasi, Gambar tuliskan hubungan antara a, b, dan c. Segitiga siku-sikuAgar lebih jelas cara menentukan panjang salah satu sisi segitiga siku-siku,amati contoh-contoh penggunaan teorema Pythagoras berikut. Contoh 5mTentukan panjang hipotenusa segitiga di a2 + b2 = c2 c 12 m52 + 122 = c225 + 144 = c2169 = c 13 = cJadi, panjang hipotenusa segitiga tersebut adalah 13 Kelas VIII SMP/MTs Semester IIContoh panjang a pada gambar di a 2,1 cmPenyelesaian a2 + b2 = c2 2,9 cma2 + 2,12 = 2,92a2 + 4,41 = 8,41 a2 = 8,41 – 4,41 a2 = 4a=2Jadi, panjang sisi segitiga yang belum diketahui adalah 2 D 25 cm CPerhatikan gambar trapesium di samping. 15 cmPanjang BC adalah ... cm. 33 cm Alternatif Penyelesaian A B DUntuk menyelesaikan masalah di atas, 25 cm Cterlebih dahulu kita buat garis dari titik AC yang tegak lurus dengan garis AB. 15 cmMisalkan titik potong dengan garis ABadalah E, maka terbentuk segitiga siku- 33 cm Bsiku BCE sehingga berlaku teorema BEBE = AB – AEBE = 33 – 25 = 8Jadi, panjang BE = 8 2013 MATEMATIKA 9Panjang CE = panjang DA = 15 BEC siku-siku di = CE2 + BE2BC2 = 152 + 82BC2 = 225 + 64BC2 = 289BC = 289 = 17Jadi, panjang BC adalah 17 cm. Ayo Kita Q C Menalar DDiketahui persegi panjang ABCD. A BTerdapat titik Q di luar persegi panjang. Gambar cara kalian dalammenentukan hubungan antara panjang Persegi panjang ABCDAQ, BQ, CQ, dan DQ? Untuk membantukalian menentukan hubungan keempatpanjang ruas garis tersebut, perhatikanGambar di samping. Gambar bisabermacam-macam. Ayo Kita BerbagiDiskusikan jawaban Ayo Kita Menalar di atas dengan teman kalian. Kemudiansampaikan hasil menalar kalian di Kelas VIII SMP/MTs Semester II?! Ayo Kita Berlatih Gunakan teorema Pythagoras untuk menentukan nilai yang belum diketahui pada masing-masing gambar 15 d. 9,6 m a 12 x 10,6 inci 10,4 m 13b. 7,2 kakie. 6 5 x x 8c. 5,6 inci f. a c 9,6 kaki2. Tujuan dipasangkan kawat bubut pada suatu tiang telepon adalah untuk menopangnya. Kawat bubut dipasang pada tiang telepon setinggi 8 meter dari tanah. a. Jelaskan cara yang akan kalian lakukan untuk menentukan panjang kawat bubut tanpa mengukur langsung kawat tersebut. b. Tentukan panjang kawat jika jarak antara kawat dan tiang pada tanah adalah 6 Tentukan nilai x pada kedua gambar berikut. 5 mm x 13 mm 20 cm 12 cm x 35 mm MATEMATIKA 11Kurikulum 20134. Apakah suatu segitiga yang panjang ketiga sisinya berturut-turut 9 cm,12 cm, dan 18 cm merupakan segitiga siku-siku? Jika panjang sisi-sisi suatu segitiga siku-siku berturut-turut adalah x, 15, dan x + 5, tentukan nilai Tentukan panjang AB dari gambar C 4 cm C B D4 cm 3 cm 5 cm 6 cm 7 cm 3 cm 1 cm B A A BA a. b. Diketahui persegi panjang ABCD dan P merupakan titik di dalam persegi panjang. Jika PC = 8 cm, PD = 4 cm, dan PB = 7 cm, maka PA adalah .... DC P AB8. Seorang yang bernama Bhaskara menyusun sebuah persegi dan empat buah segitiga siku-siku yang memiliki panjang sisi yang sama yaitu a, b dan c kedalam sebuah persegi yang mempunyai panjang sisi c. c c cab c c12 Kelas VIII SMP/MTs Semester IIa. Tunjukkan bagaimana kelima potong bangun datar yang disusun pada gambar bagian tengah dapat disusun untuk mengisi bangun yang paling Jelaskan bagaimana teorema Pythagoras termuat dalam pertanyaan Perhatikan gambar dua persegi di samping. 15 cm Panjang sisi persegi besar adalah 15 x cm. Luas persegi kecil adalah 25 cm2. Tentukan nilai x. 25 cm210. Perhatikan gambar di samping. Diketahui C ABC siku-siku di B dengan panjang DB AC = 40 cm dan BC = 24 cm. Titik D terletak pada AB sedemikian sehingga CD = 25 cm. Panjang AD = ... cm. A Sedikit x1 x2 = 12 + 12 Informasi 1 x2 = 2 x= 2Bentuk AkarJika kalian menggunakan teorema Pythagoras untuk mencari panjang diagonalpersegi pada kertas bergrid seperti gambar di atas, kalian akan mendapatkanbentuk 2. Secara geometri, kita dapat menunjukkan bentuk akar sebagaipanjang sisi miring segitiga siku-siku yang panjang kedua sisi siku-sikunyaadalah 2013 MATEMATIKA 13Mari kita lihat kasus yang lain. Dengan menggunakan teorema y2 = 52 + 52 Pythagoras pada gambary 5 y2 = 50 di samping, kalian akan menemukan bahwa y = 50 panjang sisi miring segitiga siku-siku di 5 samping adalah bahwa 50 adalah panjang sisi miring segitiga siku-siku yangpanjang kedua sisi siku-sikunya adalah dapat menggunakan konsep tentang akar sebagai panjang sisi segitigasiku-siku ini untuk menyederhanakan suatu bentuk akar. Perhatikan dua kasusdi atas. Bagaimanakah jika kita bandingkan panjang ruas garis 50 dengan 2?Perhatikan bahwa ruas garis yang panjangnya 50 dapat dibangun oleh limaruas garis yang panjangnya 2. Sehingga kita bisa menuliskan 50 = 5 5 2 adalah bentuk akar yang lebih sederhana, karena menggunakanrepresentasi geometri yang lebih sederhana yaitu 2 yang merupakan panjangdiagonal persegi satu juga bisa menyederhanakan bentuk akar secara aljabar denganmenentukan akar dari faktor yang merupakan kuadrat sempurna pada suatubentuk 72. Alternatif PenyelesaianCara yang bisa digunakan untuk menyederhanakan adalah mencari akar faktoryang berupa bilangan kuadrat sempurna. 72 = 36 2 = 36 × 2 = 6 × 2 = 6 214 Kelas VIII SMP/MTs Semester IIK Menerapkan Teorema Pythagoras untuk Menyelesaikan MasalahPythagoras dapat diterapkan diberbagai bidang. Kita bisa menentukan jarak duatitik pada sistem koordinat, mengecek kesikuan benda dengan menggunakan2t5eorema Pythagoras. Pada bangun ruang misalnya, dengan menggunakan2t4eorema Pythagoras pula kita bisa menentukan panjang diagonal sisi dan2p3anjang diagonal kalian pernah bermain benteng-bentengan? Kalian berada 50 meter2sk1eabliealnahbeurtaadraa dan 20 meter sebelah timur dari benteng kalian. Benteng lawan di 80 meter sebelah utara dan 60 meter sebelah timur dari benteng2k0alian. Bagaimanakah menentukan jarak kalian dengan benteng lawan kalian?1M9 asalah ini bisa kalian selesaikan dengan menggunakan teorema sebelumnya kalian pelajari terlebih dahulu kegiatan Ayo15 Kita Amati141P3erhatikan Gambar Setiap ruas garis yang tidak sejajar dengan sumbu-X1m2aupun sumbu-Y adalah hipotenusa dari segitiga siku-siku dari dua sisi yang1s1ejajar dengan sumbu-X dan sumbu-Y. Sehingga kalian bisa menentukan jarak1d0ua titik pada bidang Kartesius dengan menggunakan teorema Pythagoras. 9 8Y7654321X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Gambar Kurikulum 2013 MATEMATIKA 15Untuk mengukur panjang ruas garis yang menghubungkan dua titik padabidang koordinat, kita dapat menggambar titik-titik tersebut. Setelahitu, kita menentukan panjang setiap ruas garis. Misalkan, diminta untukmenentukan jarak antara titik A−5, 3 dan B3, −4. Bagaimana kitadengan mudah menentukan jarak dua titik pada bidang Kartesius?Untuk menyelesaikan masalah di atas, lakukan kegiatan di bawah Gambar kedua titik A dan B pada bidang Kartesius. Tarik garis sehingga menghubungkan kedua titik tersebut. Gambar yang kalian buat akan tampak sama seperti pada Gambar Perhatikan Gambar Apabila ditarik garis dari titik −5, 3 dan3, −4 yang sejajar dengan sumbu-X dan sumbu-Y, maka kita bisamelihat suatu segitiga siku-siku d10engan panjang sisi tegaknya 7 satuandan 8 satuan. Sehingga, kita bisa m9enggunakan teorema Pythagoras untukmenentukan jarak kedua titik Gambar jarak kedu7a titik adalah 82 + 72 atau 113 satuan. 6 5Y 4 B −5, 3 3 2 1 X 0−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −−11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 −2 7 satuan −3 3, −4 A 8 satuan−−54 Gam−6bar −7? Ayo Kita −8 Menanya −9 −10Kalian telah mengamati cara menentukan jarak dua titik yang sudah kalian menentukan jarak sebarang dua titik, yakni titik Ax1, y1dan Bx2, y2? Buatlah pertanyaan lainnya terkait dengan penerapan teoremaPythagoras, baik penerapannya pada bangun datar maupun pada bangun Kelas VIII SMP/MTs Semester II=+ Ayo Kita+ Menggali InformasiMari kita mencoba menyelesaikan masalah permainan menggunakan bidang Kartesius, kita bisa menentukan jarak kaliandengan benteng lawan berada 50 meter sebelah utara dan 20 meter sebelah timur dari bentengkalian. Benteng lawan berada di 80 meter sebelah utara dan 60 meter daribenteng kalian. Sehingga posisi kalian dan benteng lawan kalian dapatdisajikan dalam bidang Kartesius seperti berikut. U Benteng lawan 80 30 meter 50 40 meter kalian B Benteng kalian T 20 40 60 80 S Gambar kita menentukan koordinat kalian dan benteng lawan, selanjutnya kitamenentukan jarak kalian dan benteng lawan dengan menggunakan kalian dan benteng lawan kalian dapat ditentukan seperti = 402 + 302 = + 900 = = 50Jadi, jarak kalian dengan benteng lawan kalian adalah 50 lebih memahami penerapan teorema Pythagoras, amatilah beberapacontoh 2013 MATEMATIKA 17Contoh hari Wachid dan Dani merencanakan akan pergi berlibur ke menjemput Dani untuk berangkat bersama-sama ke pantai. RumahWachid berada di sebelah barat rumah Dani dan pantai yang akan merekakunjungi terletak tepat di sebelah utara rumah Dani. Jarak rumah Wachid danDani adalah 15 km, sedangkan jarak rumah Dani ke pantai adalah 20 kecepatan rata-rata bersepeda motor Wachid adalah 30 km/jam, tentukanselisih waktu yang ditempuh Wachid, antara menjemput Dani dengan langsungberangkat sendiri ke gambar dapat diketahui Pantaitotal jarak yang ditempuh Wachidmenuju ke pantai adalah 15 + 20 = Rumah 20 km Rumah35 km. Sehingga dengan kecepatan Wachid Danirata-rata 30 km/jam, waktu yangdibutuhkan untuk sampai ke pantai 15 kmadalah 35 km ÷ 30 km/jam = 1,67jam atau setara dengan 70 menit. Ilustrasi gambarNamun, jika Wachid tidak perlumenjemput Dani, maka menggunakanteorema Pythagoras dapat dicarijarak terpendek dari rumah Wachidke pantai yaitu 152 + 202 = 225 + 400= 625 = 25 kmDengan kecepatan 30 km/jam Wachid hanya memerlukan waktu 25 ÷ 30 =0,83 jam atau setara dengan 50 selisih waktu antara Wachid menjemput dengan tidak menjemput Daniadalah 70 − 50 = 20 Kelas VIII SMP/MTs Semester IIContoh pesawat sedang terbang melintasi kapal induk. Suatu radar yang berlokasisejauh 9 km dari kapal induk mendeteksi bahwa posisi kedua pesawat tempurtersebut berjarak 10 km dan 12 km dari radar. Tentukan jarak kedua pesawatdiukur berdasarkan ketinggiannya. Alternatif 12 km D Penyelesaian 10 km CPerhatikan bahwa masalah di atas bisa A 9 km Bdigambarkan seperti gambar di samping, jarakkedua pesawat yang dimaksud adalahpanjang menentukan panjang CD, terlebih dahulu kita akan menentukan panjangBC dan teorema Pythagoras,BC2 = AC2 − AB2 = 102 − 92 = 100 − 81 = 19BC = 19 ≈ 4,35BD2 = AD2 − AB2Kurikulum 2013 MATEMATIKA 19= 122 − 92 = 144 − 81 = 63BD = 63 ≈ 7,93DC = BD − BC = 7,93 − 4,35 = 3,58Sehingga jarak kedua pesawat adalah 3,58 pada bidang Kartesius, teorema Pythagoras juga diterapkan dalambangun datar dan bangun ruang 3-dimensi 3-D. Banyak masalah nyata yangmelibatkan bangun datar dan bangun 3-D. Khusus pada bangun 3-D, hal yangpenting adalah gambar, karena sudut siku-siku sering tidak nampak sepertisudut siku-siku. Sehingga penting untuk menggambar bangun yang dimaksuduntuk memperjelas sudut siku-sikunya. ABContoh D C6Tentukan panjang AG dari balok di samping. EFAlternatif 5Penyelesaian H 10 GUntuk mempermudah, gambarlah dalam 2-D segitiga siku-siku yang terdapatEG kemudian berilah nama. Hanya ada 1 sisi yang diketahui, sehingga kitaperlu menentukan segitiga siku-siku lainnya untuk EFGH dan tunjukkan diagonal EG. Kemudian tandai EG sebagai teorema Pythagoras untuk menentukan A Bpanjang = a2 + b2 D C6x2 = 52 + 102x2 = 25 + 100 = 125 Ex Fx = 125 5 H 10 Gx = 25× 5 = 5 5 EFTempatkan pada segitiga AEG. Beri nama sisi AG 5 x5dengan y. H 10 G20 Kelas VIII SMP/MTs Semester IISelesaikan segitiga ini untuk AG. AB A 6c2 = a2 + b2 D yC 6 E yy2 = 62 + 5 52 55 Gy2 = 36 + 125 = 161 EF 5y = 161 ≈ 12,69 H 10 GJadi, panjang AG adalah 12,69 Kita Menalar1. Jika suatu ruangan berbentuk balok, A tinggi seperti tampak pada gambar di C samping, dengan ukuran panjang, panjang lebar lebar, dan tinggi masing-masing p, B l, dan t. Bagaimanakah cara untuk menentukan panjang AB? Perhatikan berbagai bentuk bangun ruang selain kubus dan balok. Temukan pemanfaatan teorema Pythagoras pada setiap bangun Andi dan Dina mengerjakan soal seperti berikut. “Jarak dua titik a, −11 dan 3, −11 adalah 17 satuan. Berapakah nilai a?” Setelah menyelesaikannya, mereka memperoleh jawaban yang berbeda. Saat dicek dengan menggantikan nilai a pada kedua titik, ternyata jawaban keduanya benar. Berapakah nilai a yang diperoleh Andi dan Dina? Jelaskan bagaimana Andi dan Dina memperoleh jawaban yang berbeda. Ayo Kita BerbagiJelaskan bagaimana cara kalian menentukan panjang diagonal ruang di depankelas. Kemudian diskusikan jawaban dengan teman 2013 MATEMATIKA 21?! Ayo Kita Berlatih Tentukan jarak antara dua titik dari pasangan titik berikut. a. 10, 20, 13, 16 b. 15, 37, 42, 73 c. −19, −16, −2, 142. Diketahui ABC dengan titik-titik A−1, 5, B−1, 1, dan C2, 1. Apakah segitiga ABC merupakan segitiga siku-siku? Tentukan luas daerah yang diarsir dari setiap gambar b. D C 20 cm 20 cm 12 cm 15 cm A B 16 cm4. Guru meminta kalian untuk menentukan jarak antara dua titik 4, 2 dan 7, 6. Kamu menggunakan 4, 2 sebagai x1, y1 sedangkan temanmu menggunakan 7, 6 sebagai x1, y1. Apakah kamu dan temanmu memperoleh hasil yang sama? Ahmad dan Udin berdiri saling membelakangi untuk main tembak- tembakan pistol bambu. Ahmad berjalan 20 langkah ke depan kemudian 15 langkah ke kanan. Pada saat yang sama, Udin berjalan 16 langkah ke depan kemudian 12 langkah ke kanan. Udin berhenti kemudian menembak Ahmad. a. Gambar situasi di atas dengan menggunakan bidang Kartesius. b. Berapa langkah jarak mereka berdua saat Udin menembak Ahmad dengan pistol bambu?22 Kelas VIII SMP/MTs Semester II6. Seorang atlet tenis mengajukan pertanyaan kepada wasit. Suara atlet mampu didengar wasit hanya pada jarak maksimum 30 kaki. Berdasarkan posisi wasit dan atlet tenis pada gambar berikut, dapatkah wasit mendengar suara sang atlet? Jelaskan jawaban kalian. 24 kaki12 kaki 5 kaki7. Tinggi sebuah jendela lantai 2 pada sebuah gedung kira-kira 8 meter. Di depan gedung tersebut ada sebuah taman dengan lebar 6 m. Berapakah panjang tangga minimum yang dibutuhkan agar kaki-kaki tangga tidak merusak taman tersebut?8. Seorang penyelam dari Tim 20 m 25 m SAR mengaitkan dirinya pada tali sepanjang 25 m untuk mencari sisa-sisa bangkai pesawat di dasar laut. Laut diselami memiliki kedalaman 20 meter dan dasarnya rata. Berapakah luas daerah yang mampu dijangkau oleh penyelam tersebut?9. Tentukan panjang AG dari bangun B b. A B A DCD C 10 10 EF EF 10 5H 10 G H 5 GKurikulum 2013 MATEMATIKA 2310. Bola A dan bola B digantung pada suatu kawat lurus seperti pada gambar di samping. ln Diameter Bola A dan Bola B berturut-turut adalah 8 dan 18. Jika jarak ujung tali l dan n A pada kawat adalah 5 dan panjang tali l adalah 10, B berapakah panjang minimum tali n agar kedua tali bisa sejajar dan bola tidak saling menekan? OMV, 2013 Sedikit InformasiKebalikan Teorema PythagorasDi Kegiatan kalian telah mengamati bahwa jika diberikan suatu segitigasiku-siku, maka berlaku kuadrat panjang hipotenusa sama dengan jumlah darikuadrat panjang kedua sisi tegaknya. Nah, bagaimana jika dibalik? Jika x,y, dan z adalah panjang ketiga sisi suatu segitiga dan ketiganya memenuhiteorema Pythagoras, apakah segitiga tersebut merupakan segitiga siku-siku?Ayo kita cari kebenarannya dengan mengikuti Kegiatan teorema Pythagoras, kita dapat membuat pernyataan yangberkebalikan dari Pythagoras menyatakan bahwaUntuk ABC, jika ∠C adalah sudut siku-siku, maka c2 = a2+ dari teorema Pythagoras adalahUntuk ABC, jika c2 = a2+ b2, maka ∠C adalah sudut kita akan menyelidiki pernyataan dari kebalikan TeoremaPythagoras Kelas VIII SMP/MTs Semester IIC Fba baA c BD xE i ii Gambar Gambar di Gambar diketahui bahwa c2 = a2+ b2. Apakah ∠ACB adalah siku-siku?Dalam Gambar panjang DE = x, DF = b, dan EF = a, dan ∠DFEadalah siku-siku, sehingga x2 = a2+ Gambar c2 = a2+ b2 diketahuiDari Gambar x2 = a2+ b2 teorema PythagorasKarena ruas kanan keduanya sama, yakni a2+ b2, maka ruas kiri pastilah sama,sehingga c2= x2 dan c = demikian, tiga sisi pada ABC tepat sama panjangnya dengan ketigasisi pada DEF. Oleh karena itu, ABC bentuk dan ukurannya sama denganDEF, yang mengakibatkan n∠ACB = n∠DFE. Karena ∠DFE adalah siku-siku, maka ∠ACB juga siku-siku. Hal ini menunjukkan bahwa kebalikan dariteorema Pythagoras merupakan pernyataan yang ACB dengan a, b, dan c panjang sisi dihadapan sudut A, B, dan teorema Pythagoras mengakibatkanJika a2 = b2+ c2, maka ACB siku-siku di b2 = a2+ c2, maka ACB siku-siku di c2 = a2+ b2, maka ACB siku-siku di 2013 MATEMATIKA 25Kegiatan Menentukan Jenis SegitigaSetelah mempelajari teorema Pythagoras dan kebalikan dari teorema tersebut,lantas bagaimana jika kita diberikan ukuran panjang tiga sisi suatu segitiganamun tidak memenuhi persamaan dari teorema Pythagoras? Termasuk jenissegitiga yang bagaimana? Apakah teorema Pythagoras bisa berlaku untuksemua jenis segitiga?AyoKita AmatiDengan menggunakan kebalikan dari teorema Pythagoras, kita bisa mengujiapakah segitiga yang telah diketahui panjang ketiga sisinya merupakan segitigasiku-siku atau bukan segitiga siku-siku. Selain itu, kita juga bisa menentukansegitiga lancip atau segitiga tumpul dengan menggunakan kebalikan dariteorema Pythagoras. Lakukan kegiatan berikut untuk menentukan jenissegitiga jika panjang sisi-sisinya sudah Sediakan lidi dan potong menjadi berbagai ukuran, antara lain 6 cm, 8 cm, 10 cm, 12 cm, dan 13 Ambil tiga lidi dengan panjang masing-masing 6 cm, 8 cm, dan 10 Buatlah segitiga dari ketiga lidi tersebut dan tempelkan di atas Amati segitiga yang terbentuk dari ketiga lidi. Jenis segitiga apakah yang dapat kalian lihat?5. Lakukan langkah nomor 2 dan 4 untuk tiga lidi yang berukuran 8 cm, 12 cm, dan 13 Lakukan langkah nomor 2 dan 4 untuk tiga lidi yang berukuran 6 cm, 8 cm, dan 12 cm.? Ayo Kita MenanyaBerdasarkan ketiga segitiga yang telah kalian buat, buatlah pertanyaan terkaitdengan hubungan panjang ketiga sisi segitiga. Misalnya, bagaimanakahhubungan panjang ketiga sisi pada segitiga pertama? Bagaimanakah hubunganpanjang ketiga sisi pada segitiga kedua?26 Kelas VIII SMP/MTs Semester II+=+ Ayo Kita Menggali InformasiPerhatikan Gambar berikut. B B B c ac c a aA b CA b CA b C a2 + b2 > c2 a2 + b2 = c2 a2 + b2 a2 + b2, maka ACB merupakan segitiga tumpul di C. Contoh segitiga dengan panjang ketiga sisinya berturut-turut 17 cm, 25 cm, dan38 cm. Apakah segitiga yang dimaksud adalah segitiga siku-siku? Alternatif PenyelesaianMisalkan panjang sisi yang terpanjang dari segitiga tersebut adalah c, makaa = 17 cm, b = 25 cm, dan c = 38 = 382 = + b2 = 172 + 252 = 289 + 625 = 914Karena c2 ≠ a2 + b2, berarti bahwa segitiga yang dimaksud bukan segitiga siku-siku. Karena c2 > a2 + b2, maka segitiga tersebut merupakan segitiga tumpul. Kurikulum 2013 MATEMATIKA 27Kegiatan Menemukan dan Memeriksa Tripel PythagorasPanjang sisi-sisi dari segitiga siku-siku sering kali dinyatakan dalam tigabilangan asli. Nah, tiga bilangan asli yang memenuhi persamaan pada teoremaPythagoras disebut tripel AmatiKita menguji tripel Pythagoras dengan menguadratkan panjang hipotenusa,yakni c2, kemudian menghitung a2 + b2. Jika kedua penghitungan tersebutmemiliki nilai yang sama, maka ketiga bilangan tersebut adalah 3, 4, dan 5 membentuk tripel Pythagoras karena 32 + 42 = 25 dan52 = 25. Jika kita mengalikan ketiga bilangan tersebut dengan bilangan lain,tiga bilangan yang baru juga akan membentuk tripel Pythagoras. Misalnya,jika kita mengalikan 3, 4 dan 5 dengan 5, kita mendapatkan 15, 20, dan bilangan ini memenuhi teorema c2 = 252 = 625a2 + b2 = 152 + 202 = 625, sehingga c2 = a2 + dapat digunakan untuk menentukan himpunan bilangan yangmerupakan tripel Pythagoras. Terdapat dua cara yang dapat dilakukan. Salahsatunya seperti ini meminta kita untuk menentukan 2pq p2 + q2sebarang dua bilangan dan menerapkan aturankepada dua bilangan yang telah ditentukan,untuk selanjutnya menghasilkan Gambar p2 − q2 Gambar Kelas VIII SMP/MTs Semester IIPanjang sisi segitiga siku-siku adalah p2 + q2, p2 − q2, dan 2pq. Denganukuran panjang itu, ketiganya akan membentuk tripel Pythagoras. Kita akanmenguji dengan melakukan kegiatan tabel berikut dengan sebarang dua bilangan asli p dan q sedemikiansehingga p > q, dengan tujuan untuk menentukan tiga bilangan yangmembentuk tripel q p2 + q2 p2 − q2 2pq Hubungan Tripel Pythagoras2 1 22 + 12 = 5 22 – 12 = 3 2 × 2 × 1 = 4 52 = 32 + 42 5, 3, 43 1 32 + 12 = 10 32 – 12 = 8 2 × 3 × 1 = 6 102 = 82 + 62 10, 8, 63 2 32 + 22 = 1341424351525354Setelah melengkapi tabel di atas, kita sudah menemukan beberapa tripelPythagoras. Kalian bisa menentukan tripel Pythagoras lainnya berdasarkanketentuan yang sudah diberikan.? Ayo Kita MenanyaBerdasarkan pengamatan kalian, kalian mungkin bertanya mengapa panjangsisi segitiga siku-siku harus p2 + q2, p2 − q2, dan 2pq? Apakah sisi-sisitersebut memenuhi teorema Pythagoras? Buatlah pertanyaan selain yangsudah disebutkan terkait dengan tripel Pythagoras. Silakan ajukan pertanyaanyang telah kalian buat kepada guru atau teman 2013 MATEMATIKA 29+=+ Ayo Kita Menggali InformasiSelain dengan menggunakan cara seperti pada tabel di atas, kita bisa mencaribilangan-bilangan yang memenuhi tripel Pythagoras dengan cara Pilihlah sebarang bilangan ganjil dan bilangan ini kita jadikan sebagai panjang sisi terpendek dari Gunakan rumus M = S2 – 1 dengan S = panjang sisi terpendek untuk 2 kemudian menghitung M merupakan sisi tegak Kalian telah mendapatkan dua sisi tegak dari segitiga. Untuk mencari panjang hipotenusa, gunakan rumus c2 = a2 + mengambil sebarang satu bilangan ganjil sebagai nilai S, buktikanbahwa cara kedua di atas juga bisa membuat tripel Pythagoras. Ayo Kita MenalarPerhatikan pada informasi yang telah kalian ketahui tentang tripel Pythagorasdengan menggunakan rumus M = S2 – 1 . Mengapa aturan ini hanya berhasil 2jika sisi terpendeknya adalah bilangan ganjil? Ayo Kita BerbagiDiskusikan jawaban Ayo Kita Bernalar di atas dengan teman kalian. Kemudian,sampaikan hasil menalar kalian di Kelas VIII SMP/MTs Semester II?! Ayo Kita Berlatih Manakah di antara kelompok tiga bilangan berikut yang membentuk segitiga siku-siku, segitiga lancip, dan segitiga tumpul?a. 13, 9, 11 e. 10, 20, 24b. 8, 17, 15 f. 18, 22, 12c. 130, 120, 50 g. 1,73; 2,23; 1,41d. 12, 16, 5 h. 12, 36, 352. Manakah di antara kelompok tiga bilangan berikut yang merupakan tripel Pythagoras?a. 10, 12, 14b. 7, 13, 11c. 6, 2 1 , 6 1 2 23. Tentukan apakah KLM dengan titik K6, −6, L39, −12, dan M24, 18 adalah segitiga sebarang, segitiga sama kaki, atau segitiga sama sisi. Jelaskan jawaban Jika 32, x, 68 adalah tripel Pythagoras. Berapakah nilai x? Tunjukkan bagaimana kalian Bilangan terkecil dari tripel Pythagoras adalah 33. Tentukan tripel Pythagoras. Jelaskan bagaimana kalian menemukan dua bilangan Bingkai jendela yang terlihat berbentuk persegi panjang dengan tinggi 408 cm, panjang 306 cm, dan panjang salah satu diagonalnya 525 cm. Apakah bingkai jendela tersebut benar-benar persegi panjang? 2013 MATEMATIKA 317. Panjang sisi-sisi segitiga adalah 1 cm, 2a cm, dan 3a cm. Buktikan bahwa ketiga ukuran tersebut bukan merupakan tripel Pythagoras. a. Jika p – q, p, p + q membentuk tripel Pythagoras, tentukan hubungan antara p dan q. b. Jika p = 8, tentukan tripel Perhatikan ABC berikut ini. C A BD = 4 cm, AD = 8 cm, dan 8 CD = 16 cm. 16 D 4 B a. Tentukan panjang AC. b. Tentukan panjang AB. c. Apakah ABC adalah segitiga siku-siku? Diketahui persegi panjang ABCD. Terdapat titik P sedemikian sehingga PC = 8 cm, PA = 6 cm, dan PB = 10 cm. Dapatkah kalian menentukan jarak titik P ke D? Bagaimana kalian menemukannya?Kegiatan Menemukan Perbandingan Sisi-sisi pada Segitiga Siku-siku Sama kakiTeorema Pythagoras dapat digunakan untuk melakukan penyelidikan terhadapsifat menarik dari segitiga siku-siku sama kaki dan segitiga siku-siku yangbesar sudutnya 30° - 60° - 90°. Dalam kegiatan ini kita akan menemukanhubungan antarpanjang sisi pada segitiga siku-siku sama kaki dan segitigasiku-siku 30° - 60° - 90°. Ayo 45° Kita Amati 45°Salah satu dari segitiga khusus adalah segitiga siku- Gambar sama kaki dengan besar ketiga sudutnya adalah45o - 45o - 90o. Setiap segitiga siku-siku sama kakiadalah setengah dari Kelas VIII SMP/MTs Semester II? Ayo Kita+ MenanyaBuatlah pertanyaan yang terkait dengan panjang sisi segitiga siku-siku samakaki. Misalnya, “Bagaimana hubungan antara ketiga sisi pada segitiga siku-siku sama kaki? Bagaimana menghitung panjang salah satu sisi segitiga siku-siku sama kaki jika hanya salah satu panjang sisi segitiga yang diketahui?”Kalian bisa mengajukan pertanyaan yang telah kalian buat kepada guru atauteman kalian. =+ Ayo Kita Menggali InformasiUntuk menjawab pertanyaan yang mungkin kalian pikirkan, lakukan kegiatandi bawah menggunakan teorema Pythagoras, tentukan panjang sisi hipotenusasetiap segitiga siku-siku sama kaki pada Gambar di bawah. Kemudian,sederhanakan setiap bentuk akar ?2 3 p ? 1 2 ? p 3 Gambar dan lengkapi tabel sisi siku-siku 1 2 3 4 5 6 ... 10 ... pPanjang hipotenusaPerhatikan panjang hipotenusa setiap kolom yang telah kalian pola yang terbentuk dari panjang sisi siku-siku dan panjangsisi miring pada segitiga siku-siku sama kaki?Kurikulum 2013 MATEMATIKA 33Ayo Kita B Menalar CAJika diberikan segitiga siku-siku sama kaki ABC, Gambar rasio AB AC menggunakan kalimat kalian sendiri,tentukan hubungan panjang ketiga sisi dari segitigasiku-siku sama kaki. Sampaikan di depan kelas danbandingkan dengan jawaban teman kalian yang Kita BerbagiDiskusikan jawaban Ayo Kita Bernalar di atas dengan teman sampaikan hasil menalar kalian di lebih memahami penggunaan rasio panjang sisi segitiga siku-siku samakaki, amatilah contoh berikut. Contoh MPerhatikan gambar di samping. Diketahui segitigasiku-siku KLM dengan panjang KL = 8 cm, dan∠KLM = 45°. Tentukan panjang LM. K 45° LAlternatifPenyelesaianKL LM = 1 2 8 LM = 1 2 LM × 1 = 8 × 2 LM = 8 2Jadi, panjang LM adalah 8 2 Kelas VIII SMP/MTs Semester IIContoh di bawah diberi nama sesuai dengan pembuatnya, yakni Theodorusdari Cyrene, masyarakat Yunani awal. Theodorus adalah orang yang berpahamseperti Theodorus dimulai dengan segitiga siku-siku dengan panjang keduasisinya adalah 1 satuan panjang dan bergerak berlawanan arah jarum jamseperti berikut. 1 1 1 11 1111 2 1 1 Gambar Roda TheodorusTentukan panjang hipotenusa pada segitiga siku-siku terakhir dari RodaTheodorus di atas. Alternatif penyelesaian kami tinggalkan untuk latihankalianKurikulum 2013 MATEMATIKA 35Kegiatan Menentukan perbandingan panjang sisi segitiga yang bersudut 30o – 60o – 90oSalah satu dari segitiga khusus lainnya adalah segitiga dengan besar ketigasudutnya adalah 30° - 60° - 90°. Bagaimana cara kita menentukan hubunganpanjang ketiga sisi pada segitiga ini? Sama halnya pada segitiga siku-sikusama kaki, kita bisa dengan mudah menentukan panjang salah satu sisisegitiga siku-siku yang bersudut 30° – 60° – 90° meskipun hanya diketahuisalah satu panjang sisinya. Untuk mengetahui bagaimana caranya, lakukankegiatan AmatiPerhatikan segitiga ABC pada Gambar Cdi ABC adalah segitiga sama sisi. GarisCD adalah garis simetri segitiga Berapakah besar ketiga sudut segitiga ABC?2. Berapakah besar sudut di bawah ini? A D B a. ∠ACD Gambar ∠ADCc. ∠BCDd. ∠BDC3. Bagaimanakah panjang ruas garis AD dan BD?4. Berapakah perbandingan panjang sisi BD dan AB? Berapakah perbandingan panjang sisi BD dan BC?5. Perhatikan segitiga BDC. Jika diketahui panjang BC = 20 cm, tentukan a. panjang BD, b. panjang Kelas VIII SMP/MTs Semester II? Ayo Kita MenanyaBuatlah pertanyaan yang terkait dengan panjang sisi segitiga siku-siku dengansudut 30° – 60° – 90°. Misalnya, “Bagaimana hubungan antara ketiga sisipada segitiga siku-siku dengan sudut 30° – 60° – 90°? Bagaimana menghitungpanjang salah satu sisi segitiga siku-siku dengan sudut 30° – 60° – 90° jikahanya salah satu panjang sisi segitiga yang diketahui?” Kalian bisa mengajukanpertanyaan yang telah kalian buat kepada guru atau teman kalian.=+ Ayo Kita+ Menggali InformasiUntuk menjawab pertanyaan yang mungkin kalian pikirkan, lakukan kegiatandi bawah adalah tabel yang berisi tentang panjang sisi-sisi pada segitiga siku-siku 30° - 60° - 90°. Gunakan teorema Pythagoras untuk melengkapi sisi siku- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10siku terpendekPanjang hipotenusaPanjang sisi siku-siku yang lainSetelah melengkapi tabel di atas, jawab pertanyaan kalian melihat pola pada panjang sisi-sisi segitiga siku-siku 30o – 60o– 90o? Jika ya, bagaimanakah polanya?Jika panjang sisi terpendek segitiga siku-siku 30o – 60o – 90o adalah a satuan,berapakah panjang sisi miring dan sisi siku-siku yang lain?Apakah pola tersebut juga bisa berlaku untuk segitiga siku-siku yang lain? 2013 MATEMATIKA 37Ayo Kita MenalarJika diberikan segitiga siku-siku ABC dengan besar ∠ABC = 60o, berapakahrasio AB BC AC. C 30° 60° AB Gambar menggunakan kalimat kalian sendiri, buatlah kesimpulan tentanghubungan panjang ketiga sisi dari segitiga siku-siku 30o – 60o – 90o. Sampaikandi depan kelas dan bandingkan dengan jawaban teman kalian yang lain. Ayo Kita BerbagiDiskusikan jawaban Ayo Kita Menalar di atas dengan teman sampaikan hasil menalar kalian di lebih memahami penggunaan rasio panjang sisi segitiga siku-sikudengan sudut 30o - 60o - 90o, amatilah contoh berikut. Contoh Q R 60° Semester IIGambar di samping menunjukkan PQR dengan Psiku-siku di P dan QR = 8 cm dan ∠Q = 60°.Tentukana. Panjang PQ b. Panjang PR38 Kelas VIII SMP/MTsAlternatif Penyelesaiana. QR PQ = 2 1 8 PQ = 2 1 PQ × 2 = 8 × 1 8 PQ = 2 PQ = 4 Jadi, panjang PQ = 4 PR QR = 3 2 PR 8 = 3 2 PR × 2 = 8 × 3 PR = 8 3 2 PR = 4 3Jadi, panjang PR = 4 3 cm. Contoh kalian mempelajari dua segitiga siku-siku khusus, selesaikan masalahberikut. APerhatikan gambar di samping. Tentukan 24 2panjang AC. Kurikulum 2013 45° 30° B CD MATEMATIKA 39Alternatif PenyelesaianPerhatikan segitiga siku-siku ABD. Perhatikan segitiga siku-siku ABCAB AD = 1 2 AB AC = 1 2AB 24 2 = 1 2 12 2 AC = 1 2 AB = 1 12 2 = 124 2 2 AC 2AB = 1 × 24 2 12 2 × 2 = AC 2AB = 12 2 AC = 24Jadi, panjang AC adalah 24 cm.?! Ayo Kita Berlatih Tentukan panjang sisi yang ditunjukkan oleh huruf pada setiap gambar di bawah. a. d. 32 17 2 a c 30° db. e. a 60° a 5 b 72c. f. 60° 20 16 cm 30° d b e40 Kelas VIII SMP/MTs Semester II2. Tentukan keliling persegi 3. Tentukan luas segitiga berikut. ABCD berikut. AD18 2 16 cm BC4. Apa yang salah dengan gambar di bawah ini? cm 8 cm 17 cm 60°5. Tentukan luas persegi panjang KLMN berikut. NM 8 cm 30° KL6. Perhatikan gambar segitiga siku-siku ABC di bawah. Tentukan a. keliling segitiga ABC, b. tentukan luas segitiga ABC. CA 8 cm D 30° BKurikulum 2013 MATEMATIKA 41 6. Setelah melakukan kegiatan tersebut, apa yang dapat kalian ketahui tentang hubungan nilai a, b, dan c? Untuk lebih meyakinkan kalian tentang hubungan nilai a, b, dan c, lanjutkan dengan kegiatan berikut. Baca Juga Kunci Jawaban Tema 7 Kelas 6 Halaman 109 111 Isi Pidato Pak Badru Pada kertas berpetak, gambar tiga segitiga siku-siku ABC dengan tiga ukuran yang berbeda. AB = 5 satuan, BC = 12 satuanAB = 8 satuan, BC = 15 satuanAB = 9 satuan, BC = 12 satuan Ukurlah panjang sisi yang ketiga dari setiap segitiga. Lengkapi tabel berikut berdasarkan ketiga segitiga yang telah kalian buat. Kunci Jawaban Matematika Kelas 8 Semester 2 Bab 6 Halaman 5 6 Lengkapi Tabel Berdasarkan Ketiga Segitiga Jawaban Kunci Jawaban Matematika Kelas 8 Semester 2 Bab 6 Halaman 5 6 Lengkapi Tabel Berdasarkan Ketiga Segitiga

lengkapi tabel berikut berdasarkan ketiga segitiga yang telah kalian buat